【指數函數的微分?高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
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a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 = 本身 × ln(底數)
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其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
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而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71,是無理數
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關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念(補充教材)
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) = 1 而是微分等於自己
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【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 = 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 = e^x
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上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎?
留言告訴我唄~
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
同時也有3部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,【摘要】 這個範例蠻重要的,取極限遇到底數和指數都是變數時,可先取 exp 再取 log 使原式產生變化,再利用極限遇到連續函數可直接無視的特性,將題目再化成老大比較法的題型,最後再用我們的口訣「叉叉接旨刺 log」即可解開這類題型 【加入會員】 歡迎加入張旭老師頻道會員 付費訂閱支持張旭老師,協...
log底數 在 數學老師張旭 Facebook 的最讚貼文
【搬運計畫:極限篇|重點十之三:老大比較法 (下):叉叉接旨刺 log|精選範例 10-3-1|張旭微積分】
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最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
以後大概會每天搬一部
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這個範例蠻重要的\
取極限遇到底數和指數都是變數時
可先取 exp 再取 log 使原式產生變化
再利用極限遇到連續函數可直接無視的特性
將題目再化成老大比較法的題型,最後再用我們的口訣「叉叉接旨刺 log」即可解開這類題型
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log底數 在 君子馬蘭頭 - Ivan Li 李聲揚 Facebook 的最佳貼文
[萬物皆數]王維基檔嘢嘅每日訂單,真係應該用直線project?
TLDR:好似用指數曲線fit 啲喎。但呢度唔係學院,仲有好多嘢考慮。出街嘅目標當然保守啲好。
1. 實情我啲數學都生锈不少。冇計,離開學校20年,只計離開教書都16年。有錯可以指正,但阿叔當年都係識嘢的
2. 是咁,上次篇文(https://fbook.cc/3Ejd)講開絶大多數上市公司主席報告書都不值一讀,但王維基檔香港電視HKTVMall 1137係例外(https://bityl.co/3G6w)。上次舉咗些少例子。
3. 今日舉多個例,如圖(英文版清楚啲)。都唔係咁多上市公司會整張圖。先講兩條折線,橙色係個Daily GMV(Gross Merchandise value)(https://bityl.co/3G73),藍色係個每日平均訂單,實數,由2017年1月開始。
4. 另外兩條直線(即係斜線),係公司自己嘅projection,紅色實線係跟2019年底數字做嘅projection,鴨屎綠色虛線係跟最新(2020年7月)數字做嘅。咁當然唔同,當然係鴨屎綠線斜好多勁好多。
5. 留意佢個圖又有每日訂單又有每日GMV,但佢話個projection係做GMV。不過樓下寫又係寫返每日訂單—我都會跟佢講每日訂單。原本(2019年底)公司預2021年底(紅色實線最盡)就可以去到每日訂單3萬張,然後做到EBITDA(*)迫伊汾。
6. 但因為疫情,加速咗個過程(**),加快咗18個月。所以而家係鴨屎綠色虛線。
7. 睇到呢度,覺得點?「原來100億市值嘅公司都係咁fit條直線入去架咋」,完全證明你大學讀啲火箭數學,係無用武之地的。
8. 但,我地不妨大膽啲。唔直線fit,不如曲線fit丫!Log scale!一講我就好興奮。
9. 首先要講,我同事(好東西嚟的,有機會介紹佢出場)有keep呢啲數,我有提議佢地,應該加埋個每月確診數字落去。唔係幸災樂禍,但真係有關嘛,大家都知。當然公司唔方便咁放(唔知內部有冇?),但我地內部就冇所謂。見到訂單數同確診數字,係相當有關係的。例如呢一浸第二定第三波,你見訂單又勁升了。固然小學雞都識講correlation is not causation,但其實故事都好講得通:多人確診咪收緊措施,收緊咪多人做網購。
10. 咁而,不方便嘅真相,好多人都好似唔知,但理科學生應該一定知,傳染病呢啲嘢,係指數式增長,exponential growth的。
11. 因為人類會應對,所以唔會無止境咁exponential growth。但,不如試下,呢個圖唔用直線,而用指數曲線,會係點呢?
12. 圖我可能晏啲貼(你見到篇文時我訓緊覺),但你自己可以玩一次,反正我都只係用Excel.望落去,似乎係指數曲線更加good fit,你睇佢個圖條折線都升穿晒鴨屎綠虛線啦,除非預之後跌落嚟—但似乎公司冇咁預期。
13. 當然,目測good fit 唔夠,Excel 仲會幫你計R-square.拿,以前我堆乜乜球會人工性價比嘅文講過(https://bityl.co/3G7X),收視毒藥。唔緊要,你咪當R-square,係量度條線fit唔fit.結果?我用直線,R-square 81%,fit八成。用指數曲線呢?94%!嘩哈,雖然我有啲懷疑兩個R-square唔應該直接比。你亦可以計晒咁多個data point,同條線嘅距離,知邊個fit得好(其實R-square就係咁概念)
14. 學術完,如果真係指數曲線,咁有乜唔同?唔同就大咯!
15. 如果用指數曲線,去到今年年底,應該日均訂單去到4萬單,根本唔難,而家都3萬6。但如果用直線呢(即係公司個圖),話去到今年年底先3萬5左右—喂,呢刻都唔止啦!
16. 另外,公司原本係講2021年底嘛,又睇下project 18個月會點。如果用指數曲線,去到2021年底,應該日均7萬張單,而家一個開。如果用直線(即係公司個圖),只係去到4萬張單.但明明而家先3萬6
17. 所以,你睇下今年年尾,日均係3萬5張單定4萬張。或者睇下2021年尾,日均係4萬張定7萬張,咪知應該直線定指數曲線。
18. 當然,確診唔係完全指數增長,你會有措施,甚至疫情可能散去。就算個確診指數咁上,需求指數咁上,亦不代表公司一定有能力食得晒(使唔使集資呢又?)。但就以上啲數字睇,加埋你目測,加埋個R-square,似乎都係應該進取啲,用個指數曲線
19. 但,公司唔咁做,當然有佢原因。我倒唔信做嗰個唔知可以用指數曲線。但,對外當然係保守啲。可能內部個捽數目標,就係指數曲線呢?
(*)Earnings before interest, tax, depreciation and amortization.即係扣走I,T,D,A呢四大天王前嘅東西。EBITDA迫伊汾當然不等於賺錢,但,好過冇。
(**)上次篇文有講,正係公司講嘅嘢:疫情冇改變消費者習慣,只係加速。即使疫情過去亦唔會返轉頭。有呼應返的。
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log底數 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳貼文
【摘要】
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偶數題講解影片:https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXih3a_3DDXOUk0hRHMfg53_
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【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
重點一:極限的直觀定義 (https://youtu.be/hZT2fOcxSJw)
重點二:極限的嚴格定義 (https://youtu.be/gCkhy0aODZk)
重點三:一些基本函數的極限 (上集) (https://youtu.be/qoIOFz1D_W4)
重點四:極限運算定理 (四則運算篇) (https://youtu.be/d6PzP8ApFgk)
重點五:極限運算定理 (合成篇) (https://youtu.be/h2X2yyGyWHQ)
重點六:去零因子求極限 (https://youtu.be/vqoc59G-gRI)
重點七:去絕對值求極限 (https://youtu.be/PYzasrBZWWA)
重點八:高斯符號求極限 (https://youtu.be/EXKQQS17k2Y)
重點九:含無窮符號之極限 (https://youtu.be/RhKkx7DO_kM)
重點十之一:老大比較法 (上):多項式分式 (https://youtu.be/Wr6rkCa1Neo)
重點十之二:老大比較法 (中):指數函數多項式 (https://youtu.be/FYGzcSw0U0s)
重點十之三:老大比較法 (下):叉叉接旨刺 log (https://youtu.be/YbvXCZmmff4)
└ 精選範例 10-3-1 👈 目前在這裡
重點十一:夾擠定理 (https://youtu.be/sTvtt4K85s0)
重點十二:lim_(x→0) sin(x) / x 專論 (https://youtu.be/sVohBWF-6ww)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
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【附註】
1. 積分前篇和後篇自 2021 年 5 月起改成買張旭微積分上學期講義解鎖影片
2. 數列與級數以後的章節為下學期內容,為付費課程,購買後在張旭無限教室線上課程平台觀看
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【摘要】
本範例再次修改原本在指數分式求極限的題型中各指數函數的底數部分,將大於 1 的底數換成小於 1 的底數,在判斷領導項的過程會變複雜許多,但老大比較法的觀念依然不變
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了解了極限的嚴格定義以後,運用其定義證明一些最簡單最基本函數 (本集講指數函數和對數函數) 的極限,之後靠這些基本函數的極限以及重點四會講的極限的運算來處理各種函數極限的計算問題
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log底數 在 Re: [中學] 請問幾題高中對數的題目? - 看板Math 的必吃
※ 引述《guugo (MH)》之銘言:
: 1.解分式不等式 :(1+x)分之1 大於等於 3
: 想法: 算出是 -1 小於等於 x 小於等於 -(3分之2)
: 但解答不是這樣!!
移項相減通分整理後分子分母相乘 >= 0 轉高次不等式
: 2.解指數不等式 25^x - 7*5^x - 8 小於等於0
: 想法: 請問答案是 x 小於等於 log(底數=5)(真數=8) 嗎 ?
令 5^x = t => 25^x = t^2 轉 二次不等式
: 3.設log(底數為4x-3)(真數為3-2x)有意義 , 則實數 x 的範圍為 ?
3-2 x >0
4x-3 > 0 且不等於 1
解聯立不等式
: 想法: 算出答案是 4分之3 小於 2分之3 , 但x不等於1......這題正解不是這樣??
: 4.化簡 log(底數為9)(真數為8)*log(底數為4)(真數為81)
: + (7)^1/2*log(底數為49)(真數為16)
: + log(底數為2)(真數為27)/log(底數為4)(真數為9)+log(底數為根號5)(真數為1)
: - log(底數為6)(真數為1/6) = ?
: 想法: 算出答案是 9 , 請問對嗎?
對數律化簡而已,請自行翻閱參考書
: 5.解對數方程式 log(底數為2)(真數為3x-1) = log(底數為4)(真數為x^2+x+4)+1
: 想法: 這題真的不會 ,請問解法?
用對數律化底數2那個為底數4,又 1 = log_4 (4) => 同底真數相等
: 6.設 a=log2 , b=log3 , 請以 a,b表示 log(底數為15)(真數為72)
: 想法: 算出的答案是 (3a+2b)/(b-a+1) , 請問答案正確嗎 ?
換底公式 => 原式 = log72 / log 15, 再去湊
: 7.請問哪些選項是正確的 ?
: (A) log(-3)^2 = 2log(-3) (B)log(底數為0.5)(真數為0.3)=log(底數為5)(真數為3)
: (C) [log(底數為2)(真數為9)]/[log(底數為2)(真數為5)]
: =log(底數為2)(真數為9)-log(底數為2)(真數為5)
: (D)log(底數為根號2)(真數為16)=2
: (E)log(底數為根號3)(真數為7)=log(底數為3)(真數為49)
: 想法: 我覺得指有(E)是對的 , 但這題不止一個答案 ,我有漏掉的嗎?
C 也對
8.下列哪些與 (x+1)(x-2) 小於0 有相同的解 ?
: (A) -(根號5)(x+1)(x-2) 大於0 (B)(x+1)(2-x) 小於0
: (C)(x+1)(x-2)(x-3)^2 小於0 (D)(x+1)(x-2)(-x^2+2x-5) 大於0
: (E) (x+1)^3(x-2)^5 小於0
: 想法: 答案我選的是 A 和 E ,但錯了請問這題答案是?
2-4 的二次不等式、高次不等式再去練熟喔,不是要段考了,
你數學感覺會爆喔
: 9.下列何者正確?
: (A) y=log(底數為3)(真數為x) 與 y=log(底數為3分之1)(真數為x)兩者的圖形洽有
: 一個交點 (0,1)
: (B) y=(5分之1)^x 與 y=-log(底數為5)(真數為x)之圖形對稱於直線 x-y=0
: (C) y=log(底數為2)(真數為x)的圖形為凹口向下且嚴格遞增
: (D) y=2^x 與 y=log(底數為2)(真數為1/x) 兩圖形沒有交點
: (E) y=log(底數為3)(真數為x) 與 y=log(底數為3)(真數為2x) 之圖形 , 經平移之後 ,
: 可以疊合
: 想法: 觀念似懂非懂 ,不確定答案對不對 ,請問正確的是?
BCE 看 3-2 , 3-4
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