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【指數函數的微分？高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
.
a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
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其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
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而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71，是無理數
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關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念（補充教材）
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) ＝ 1 而是微分等於自己
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【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 ＝ e^x
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上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎？
留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容：
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧？
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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非常棒的牙齒保健資訊！
[伊亞小分享---犬貓口腔疾病新知&重點微分享!!!]
#進入本文前要先強調一下
#牙科不是伊亞的專長
#進修牙科是要了解自身的渺小
#知道何種病況需要立刻轉院
#若文中如有錯誤也請直接糾正
#文末有附上伊亞推薦的動物醫院
🌀 這次牙科演講的老師相當驚人，
是執業超過40年的Dr. Anthony J.M.G.，
為美國/歐洲獸醫牙科學院雙專科醫師，
並且是獸醫內科學教科書作者之一~
"out of sight, out of mind"
課堂上老師一直強調...
牙科不是只有檢查牙齒這麼簡單，
要做全面性且有順序的檢查~
獸醫若不常進行地毯式的搜索，
往往就會忽略掉許多小細節，
甚至做出錯誤的建議或決定，
而傷害到無辜的狗狗貓咪...
🌀 因為老師經歷了40年的醫學變遷，
也一直告訴我們要保持求知的態度，
他笑著告訴我們，或許再一個40年後，
現在所講的一切又將被推翻~
其中很重要也想要跟飼主分享的...
是關於牙周病的新知~
在過去的醫學認為牙周病...
"是因為口腔的細菌本身所致"，
而現今卻認為真正的原因是...
"對抗細菌所產生的炎症反應才是兇手"~
"細菌只是火苗，而發炎才是真正的大火"
🌀 以下解釋牙菌斑與牙周病的關係，
伊亞認為每位飼主都該抽空看一下~
在清潔完牙齒的20分鐘後，
牙齒表面隨即會開始有...
唾液黏蛋白形成一道薄膜，
這道薄膜會在24小時內
與細菌/食物殘渣結合成牙菌斑~
最初牙菌斑上結合的細菌，
會是威脅性較低的好氧菌 (good guys)，
在此時，若能做好牙齒的居家清潔，
就能夠有效地中斷牙菌斑的進程~
(人類天天早晚刷牙的原因在此!)
當沒有進行任何每日牙齒清潔後，
牙菌斑會深入牙齦內側的溝槽，
細菌們會繼續增殖，
並開始引起牙齦發炎~
在繼續放任不管之後，
牙齦溝槽內的空間，
將會被牙菌斑所佔滿，
當初威脅性較低的細菌菌叢，
進而轉變成恐怖的厭氧菌 (bad guys)，
並開始了牙周組織的發炎~
這個階段，雖然細菌本身...
就會造成組織/齒槽骨的破壞，
然而，身體為了抵抗細菌所產生的炎症反應，
其實才是真正傷害組織/齒槽骨的兇手...
因此，有效的制止牙菌斑生成，
就是"預防"牙周病的唯一解，
而非等到"出現"牙周病後，
才建議飼主進行治療~
"預防勝於治療!!!"
在已經出現牙周病後才治療，
不僅醫療所需的花費高，
獸醫也會對不起來看診的狗貓，
所以，老師不時的提醒我們：
"Shame on you"
🌀 另外，老師也很強調...
獸醫應該要花時間告訴/衛教飼主：
"何謂有效/正確的口腔居家保健"~
伊亞相信"衛教"這一塊，
而且是"正確的醫學衛教"，
台灣好有好長一段路要走...
目前網路上充斥著太多...
"非正確/無實證/無根據"的"經驗談"，
若想要做到正確的衛教，
需要有更多的獸醫重視衛教才行~
在人類的研究中，
已經發現牙周病不僅與心臟瓣膜炎有關，
也跟呼吸道感染、甚至其他全身性疾病有關~
而我們年輕獸醫...
再不重視牙周病的"預防"
老師又送我們一次"shame on you"
若能讓飼主知道牙齒清潔的重要性，
進而改善狗狗貓咪的生活品質，
才是獸醫醫學的一大福音~
---------重點微分享-------------
1️⃣ 獸醫要建議飼主，
給狗狗玩/咬的玩具/零食，
應該選擇可以彎折/弄斷的硬度，
只要無法彎/斷的，拿去垃圾桶丟掉~
(不要再讓狗吃骨頭了!!!)
2️⃣ 淚痕可以是因為口腔疾病所致，
記得要開嘴檢查一下~
3️⃣一側的mandibular LN腫，
並不一定是該側的臉/鼻/口腔有問題~
4️⃣ 口腔檢查記得要全面性，
包括觸摸臉龐去感覺開嘴時骨頭的作動，
就像是幫臉部做骨科學檢查一樣~
5️⃣ 牙齒也能反應出全身性疾病，
所以看到所有牙齒皆有病變時，
請不要忽略身體的檢查~
6️⃣ 下顎如果過短，牙齒會旋轉排列；
反之如果過長，牙齒的間距會拉長~
7️⃣ probing sulcus/pocket的深度，
是從cementoenamel junction算起，
否則如果遇到齒槽骨退縮時會誤判~
8️⃣ 牙周韌帶允許正常牙齒可以移動<0.2mm，
(怎麼去感覺呢? 要very careful!)
9️⃣ 狗貓口腔中有至少250種細菌，
老師認為不用例行做口腔細菌培養~
(覺得浪費錢!!!)
1️⃣0️⃣ 老師認為...
台灣獸醫雖然知識/技術很專業，
收費上卻在貶低自己的專業，
老師做口腔治療收2700USD，
他覺得可以收到這價位，
是因為他能跟飼主保證...
"short-term lose, long-term gain"
而且homecare很重要，
你不教飼主，"shame on you"
(台灣還有很大的努力空間...)
1️⃣1️⃣ 老師相當推坑牙科X光機，
有X光機才能看到更多的病變，
因為有30-40%的疾病如果沒有X光，
你只會完全miss掉他~
1️⃣2️⃣ 口腔治療會造成環境都是細菌，
如果進行口腔治療之前，
牙齒有先有沖過chlorhexidine，
原則上院內的無菌手術區域，
可以在距離在2.5m處沒關係，
若你沒有沖過chlorhexidine，
則要拉長到9m外才不會汙染~
(所以不要洗牙同時開刀!!!)
1️⃣3️⃣ Hand scaling是用手臂出力，
不要用手指/手腕，否則會傷到組織，
且會有腕隧道症候群的職業傷~
1️⃣4️⃣ supragingiva的scaler，
不要拿去subgingiva用，
洗牙機頭也不該深入其中，
否則會造成傷害~
1️⃣5️⃣ 就算是老狗有牙周病，
仍強烈建議治療/拔牙，
要替他們改善生活品質，
不是一句他老了來逃避...
1️⃣6️⃣ 狗狗貓咪就算沒有牙齒，
也能藉由上下顎的對合，
來崩解/壓碎/咬碎飼料，
所以不用怕沒有牙齒~
1️⃣7️⃣ periodontitis
是指任何牙周組織發炎，
periodontal disease
是指牙周組織的喪失+/-發炎~
(定義上不一樣，別亂用~)
1️⃣8️⃣ 只會洗牙不做homecare不行!!!
說自己忙碌而不做好衛教，
根本不能當作是藉口!!!
1️⃣9️⃣ 口腔發炎如果去量化表面積，
大約是兩個手掌這麼大，
如果是發生在皮膚上，
我們根本不會忽略他，
所以，記得要檢查口腔~
2️⃣0️⃣ 潔牙產品請選擇/建議VOHC認證的，
因為市面上的產品玲瑯滿目，
有80%是垃圾，剩下20%才能推薦~
(老師真的講garbage)
2️⃣1️⃣ 建議飼主幫狗貓刷牙，
僅會有3%是fully compliance，
但有70%是partial compliance~
(老師的研究一周就算只刷3次牙，
還是比完全不刷牙好上許多許多，
所以還是要建議飼主做好homecare!)
2️⃣2️⃣ 記得教飼主刷牙前，
狗貓口腔要是pain free的狀況，
不然你只是在整飼主...
2️⃣3️⃣ 使用一些抗發炎的產品，
搭配口腔的抗菌漱口水/凝膠，
能有效維持口腔的健康~
(避免飼主底下留言詢價/比價，
就不列名子出來了!!!)
2️⃣4️⃣
Feline chronic gingivostomatitis syndrome (FCGS)
俗稱的貓口炎，
目前仍是發病原因未知，
治療方式也未知數的一個病，
但老師提到一個很重要的事，
若能降低貓咪的緊迫因素，
永遠是我們要做的第一件事，
而非一直用很多樣式的治療，
甚至是未證實的招式治療~
(記得要誠實告訴飼主，
貓口炎只能control且多數能success，
但無法cure，這是reality!)
2️⃣5️⃣ 貓口炎老師不建議用類固醇，
他認為使用後會出現頑固性口炎，
寧可使用其他治療方法~
2️⃣6️⃣ 抗生素老師僅有術前/中才會用，
尤其是會有骨頭曝露的時候 (例如拔牙)，
否則老師很少使用抗生素 (包括口炎)~
2️⃣7️⃣ 治療要幫狗貓量身訂做~
不要用一成不變的治療方案，
套在每一隻來就診的狗貓身上~
(customized to your patient!)
2️⃣8️⃣ 自己的心得感想...
醫學進步真的日新月異，
保健食品也是突飛猛進，
過去的黃金準則未來可能是錯誤的，
除了一直宣導大家要"Do no harm"外，
現在又多了一句"Plz keep humble"
🌀 感謝 蔡依津 獸醫師 課堂上辛苦的翻譯!!!
🌀 伊亞之前分享的
具有牙科專長的動物醫院
https://www.facebook.com/OiaVet/posts/2101212823320702
【摘要】
本影片繼續練習第一型的微積分基本定理，不過針對的函數換成了其反導函數具有 ln[f(x)] 形式的函數，要察覺這樣的函數，必須先熟練 ln[f(x)]' = f'(x)/f(x) 這個形式
【勘誤】
4:21 sin(π/2) 應為 1
4:43 ln 裡面的分子部分應為 2 + 根號(2)
4:53 因此最後的答案應為 ln2 - ln((2 + 根號(2))/2)
若有發現其他錯誤，歡迎留言告知
【講義】
請到張旭老師臉書粉專評論區留下你的評論
然後私訊張旭老師臉書粉專索取講義，通過審核即可獲得講義連結
👉 https://www.facebook.com/changhsu.math/reviews
【習題】
請到張旭的生存用微積分社團下載
👉 https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【附註】
本影片適合理、工、商、管學院學生觀看
【加入會員】
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本頻道僅公開張旭微積分上學期教學影片
若你需要下學期微積分影片，請參考我們的方案
👉 https://changhsumath.1shop.tw/calculus2nd
【學習地圖】
【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分篇】
重點一：定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二：奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三：定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四：積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五：微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
├ 精選範例 5-1 (https://youtu.be/vckfX-_YDLg)
├ 精選範例 5-2 (https://youtu.be/uIIZPeDLI_Y)
├ 精選範例 5-3 (https://youtu.be/-2lTNk9g6g8)
└ 精選範例 5-4 👈 目前在這裡
重點六：不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七：雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八：積分表 (沒有講解影片)
重點九：四大積分基本方法之一：變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十：四大積分基本方法之二：三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
重點十一：四大積分基本方法之三：分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
重點十二：積分表 (沒有講解影片)
重點十三：四大積分基本方法之四：部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
張旭微積分下學期課程影片將不會在 YouTube 頻道上免費公開
若你覺得我的課程適合你，且你下學期也有微積分要修
可以參考購課頁面 👉 https://changhsumath.1shop.tw/calculus2nd
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道，謝謝
FB：https://www.facebook.com/changhsu.math
IG：https://www.instagram.com/changhsu.math
【張旭老師其他社群平台】
Twitch：https://www.twitch.tv/changhsu_math
LBRY：https://odysee.com/@changhsumath:b
Bilibili：https://space.bilibili.com/521685904
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綠界：https://p.ecpay.com.tw/B3A1E (台灣境外用這個)
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電子書 (手稿e-book) (共261頁) (HK$199)
https://play.google.com/store/books/details?id=Fw_6DwAAQBAJ
Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
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Pure Maths 再現系列 Playlist： https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
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Please subscribe 請訂閱︰
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Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
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Pure Maths 再現系列 Playlist： https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
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ln微分 證明2022-在Mobile01/PTT/Yahoo上的房地產討論內容懶人包，找ln微分公式,ln微分意思,e x微分證明在YouTube影片與社群(Facebook/IG)熱門討論內容就來房地產即時 ... ... <看更多>
學微積分的時候∫ 1/x dx 會等於ln|x|，但是學微分方程的時候為什麼在沒辦法確定x的正負號時ln|x|的絕對值會省略？是大家約定俗成的習慣嗎？ ... <看更多>
ln微分 在 Re: [微分] ln的微分- 看板trans_math - 批踢踢實業坊 的必吃
※ 引述《alvn (低 調)》之銘言：
: 請問各位大大
: 因開始投入國考行列
: 最近在運算經濟真的遇到一點障礙
: 以往的數學底子就不強了
: 看到ln整個就是霧煞煞
: 是否能請各位幫我提點以下問題
: 倘若對下列式子做逐項微分
: lnP+lnQ=ln100
: 疑問:
: 是不是以後我看到ln後面只要是常數項都可以當作是0
對 ln常數 也是常數
: 第二點觀念疑問
: lnp微分以後我看到是不是直覺寫成(1/P)lndp?
不對
d(lnp)
----- = 1/p
dp
=> d(lnp) = (1/p)dp
: 以上基礎的微分問題，還請各位大神們指點
: 謝謝
--
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1503276051.A.C93.html
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