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【搬運計畫：極限篇｜重點八：高斯符號求極限｜精選範例 8-1｜張旭微積分】
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最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
以後大概會每天搬一部
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本範例主要解一個高斯符號求極限的經典例題
雖然函數的內外各有一個高斯符號使得函數整體看起來複雜
但其實仔細討論以後並不是那麼困難
本題著重在高斯符號在整數附近的分析
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想一次看完所有影片
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俐媽看到這個圖(IG: freeformeshop)的想法是：
看個錶怎麼會這麼累😂😂😂😂
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感謝模B的宜婷，她是已經退休的科研數學教學，她也針對自己有興趣的主題，投稿了數學餐！
👩🏻🏫 宜婷+俐媽英文教室：
👉數論
1️⃣ 數系：
①ℕ natural number 自然數
②ℤ integer 整數
→ decimal小數(循環 recurring+，無限infinite+)
③ℚ rational number 有理數
→ irrational number 無理數
④ℝ real number 實數
→imaginary number虛數
⑤ℂ complex number 複數
2️⃣ sentence 語句
3️⃣ proposition 命題：有真假可言的直述(indicative)語句
4️⃣ axiom 公理：不證自明的命題
5️⃣ set 集合
6️⃣ assume (vt.) 假設(-sum: take)
→assumption (n. C) 假設
→make assumption about
7️⃣ denote (vt.) 表示
→denotation (n.C) 意義，本意
8️⃣ exist (vi.) 存在(-sist: stand)
→existence (n.U) 存在
9️⃣ satisfy (vt.) 滿足
🔟 commutative laws 交換律【x+y=y+x、x×y=y×x】
1️⃣1️⃣ associative laws 結合律【x+(y+z)=(x+y)+z、x(yz)=(xy)z】
1️⃣2️⃣ distributive law 分配【x(y+z)=xy+ xz】
1️⃣3️⃣ law of trichotomy 三一律
1️⃣4️⃣ axioms of equality 等量公理
1️⃣5️⃣ reciprocal (n.) 倒數；(adj.) 相互的，互惠的
1️⃣6️⃣ factor因數
→ common factor 公因數
1️⃣7️⃣ multiple 倍數
→ common multiple 公倍數
1️⃣8️⃣ Euclidean algorithm 輾轉相除法(歐幾里得算法)
👉集合論
1️⃣ subset 子集(sub-: under)
2️⃣ empty set 空集合
3️⃣ universal set 宇集(uni-: one/ -vers: turn)
4️⃣ intersection 交集(-sect: cut)
5️⃣ union 聯集
6️⃣ difference set 差集
7️⃣ complement set 補集
8️⃣ Venn diagram 文氏圖
9️⃣ power set 冪集合
🔟 element 元素
1️⃣1️⃣ sufficient condition 充分條件
1️⃣2️⃣ necessary condition 必要條件
1️⃣3️⃣ if and only if 若且唯若(充分且必要)(⇔)
👉機率統計
1️⃣ Random Variable隨機變數【variable (n.C) 變數；(adj.) 多變的，反覆無常的】
2️⃣ discrete (adj.) 離散的，單獨的
3️⃣ Probability Distribution 機率分布
4️⃣ expectation 期望值
5️⃣ Linearity of Expectation 期望值的線性
6️⃣ variance 變異數
7️⃣ independent event 獨立事件 (cf. mutually exclusive event 互斥事件)
8️⃣ repeated experiment 重複試驗
9️⃣ Binomial theorem 二項式定理
🔟 Binomial distribution 二項式分布
1️⃣1️⃣ sampling抽樣
→population母體，sample樣本
①簡單隨機抽樣 sample random sampling：每一樣本抽到機率相同
②系統性抽樣 systematic sampling：將母體元素編號後，每隔一定間隔抽取一個樣本
③分層隨機抽樣 stratified random sampling：將母體按某些特性分成數個不重疊的層，再依各層佔母體比例抽取樣本
④叢集抽樣 cluster sampling：將母體中相鄰近的個體排為一集體，而以集體為抽樣單位
1️⃣2️⃣ normal distribution 常態分布(Gaussian distribution 高斯分布)
1️⃣3️⃣ standard score (standardized score) 標準分數(標準化分數)
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謝謝宜婷🙏🏼
附圖2, 3是常見的數學表示法哦！
#俐媽英文教室 #辣媽英文天后林俐carol #俐媽英文教室徵稿中 #mathematics #themewords
【#數咖年會】數學故事很難說，但有解
幾個月前，接到一通電話：
「歐陽老師，您好，
我是彭甫堅老師，我想邀請您
來數咖年會對數學老師演講。」
等等，這其中一定有什麼誤會啊！
「對不起，你可能找錯人囉！」
在平行世界，應該有個歐陽數學很猛，
我正準備把電話掛上。
「等等⋯⋯歐陽老師，
我很確定你是我要找的人沒錯，
我想請你教數學老師說故事！」
電話那頭，甫堅老師說得懇切。
「說故事？」
這事找我準沒錯，
不過數學老師幹嘛說故事啊？
甫堅老師似乎聽到我內心問號，
跟我解釋，他覺得數學老師理性爆表，
但若能強化故事的感性，會讓數學更動人。
「讓數學更動人⋯⋯」
不知道為什麼，
這句話對我而言很迷人。
對很多人而言，
數學是冰冷的公式，是外星人的語言，
可是彭老師卻大膽假設：
如果數學公式加上故事呢？
「好，包在我身上。」我說。
對，我的目標是，
在全台灣最大的數學年會，
跟120幾個數學老師，
談如何在數學課教公式，也講故事。
我開始研究大量的數學家故事，
什麼畢達哥拉斯、高斯、費馬⋯⋯
讀著讀著，有個重要的發現：
「為什麼數學家的故事很難說？」
不是老師的問題，
而是這些數學家太聰明，
聰明到只留下秀智商的故事。
比方説，高斯在三歲時，
有次看爸爸在算帳，
他竟然指著某個地方，說：
「拔拔，尼這裡算錯了唷！」
誰來把這個外星人接回去。
人生有起有伏才是故事，
但你看數學家幾乎都是天才，
所以聽他們的故事都特別絕望，
覺得自己笨到家。
你也許會說，哪有！
也是有花一輩子解題的數學家啊！
他們在解題和證明的過程中，
也是充滿艱辛挫敗。
是沒錯，可是，你要怎麼講？
在文學上，你談到作家故事，
奔波流離、一波三折、懷才不遇，
怎麼講都充滿著一種淒美。
可是數學家呢？
就是宅在房間一直算數學啊！
這要怎麼講的熱血沸騰啊？
你說這不就結案了？
也不是，你必須另尋出路，
以「人性」和「軼事」出發。
以畢達哥拉斯為例，
他的成就是提出「畢氏定理」：
A平方+B平方=C平方。
好，推薦你看網路節目「羅輯思維」，
主講人羅胖是人文學科出身，
有一集他談「費馬大定理」，
就提到畢達哥拉斯的故事。
你可以仔細觀察他怎麼說故事。
1.顛覆感
羅胖這麼說：
「其實啊！
畢達哥拉斯根本是邪教頭子，
他們把數字當成信仰，
認為整個世界是由數所構成的。
比方1代表天；2代表意見；3代表萬物」
這麼說，
就讓他多了一份神秘色彩。
2.人性面
羅胖談到「第一次數學危機」，
他這麼說：
「這時，一個倒霉鬼出場了，
他名叫希帕索斯，是畢達哥拉斯的學生。
他說：「老師啊！
你不是說世界都是有整數構成嗎？
那根號2該怎麼解釋啊？」
畢達哥拉斯ㄧ愣，發現糟糕，
怎麼跑出根號二這個魔鬼呢？
沒辦法，無法解釋，那就弄死你吧！
於是，就把希帕索斯給淹死了。」
人性是軟弱的，
數學是獨立於人的存在，
當人發現無法從根本去對抗他，
就只能去摧毀別人的生命，
來維繫自己信仰。
好，最後還有一招大絕，
那就是「文理互涉」。
文學是為了「詮釋人生」；
數學是為了「檢驗真理」。
那如果用數學來詮釋人生，
會發生什麼事呢？
比方説數學概念「複利」。
愛因斯坦說：
「複利是第八大奇蹟。」
一開始緩慢到你看不出來，
但只要到達某個節點，
就會產生驚人的效益。
所以，
你可以用複利公式來談人生。
像是我會說，
你努力是條平行線，
一開始所得到的回報不如預期，
很多人看不到成效，就放棄了。
但如果你懂複利的話，
你會知道，成功是一條指數曲線。
當你堅持到努力和成效的黃金交叉，
就是你準備起飛的時候。
以我為例，
我三年前開始養成寫作習慣，
寫寫寫，發文，可能只有3個人按讚。
但是我繼續寫，直到有一天，
我有篇文章「飄移的起跑綫」，
不得了，3萬多人按讚。
此後，我的文章就被大量關注了。
這就是複利的力量。
記住，
在水平面下都是孤獨和累積，
但是堅持下去，
你終究會贏得複利的眷顧。
你瞧，用數學詮釋人生，
是不是牢不可破，熱血沸騰呢？
很榮幸參與數咖年會，
認識一群充滿熱情的數學夥伴。
謝謝甫堅老師的邀約，
也謝謝我的恩師玉華老師，
為我做演講開場，回憶我們的故事。
你要擔心的，
不是未來AI取代人類，
而是當數學老師開始說故事，
使出「真理」與「人生」的二刀流。
那他們絕對會成為，
這世界上，最有影響力的一群人。
【摘要】
本習題主要練習處理含有高斯符號的函數的極限。這裡跟絕對值一樣，要考慮左右極限，除此之外，這裡可能額外要留意 x 是整數或不是整數
【講義】
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨！大家好，我是丈哥
目前習題講解到了第八份
雖然這部份題目對很熟悉的同學而言都是大同小異
但還是要練習寫下計算過程
因為魔鬼常常藏在細節中
總之練習有益無害
如果你喜歡我們的教學影片
請幫我分享給更多正在學微積分的同學們，謝謝～
【學習地圖】
【極限篇重點八習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiiIEiKwpg2qru9zqNxurgx) 👈 目前在這裡
習題 8-2 (https://youtu.be/qTEmE04zWdA)
習題 8-4 (https://youtu.be/Cm1V5Wu9Jpg)
習題 8-6 (https://youtu.be/8GMfg_LBRn8)
習題 8-8 (https://youtu.be/4CJl2uXqQdo)
習題 8-10 (https://youtu.be/R0xi3-sfU_U)
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 共同所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道，謝謝
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#張旭微積分 #極限篇習題 #丈哥講解
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重點八：https://drive.google.com/file/d/15JjGfobYehx_Zz9DHeFCWIsnB3QoNVEs/view?usp=sharing
偶數題講解影片：https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiiIEiKwpg2qru9zqNxurgx
簡答：https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus/files
微積分討論群：https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【附註】
本影片適合理、工、商學院學生觀看
【學習地圖】
【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
重點一：極限的直觀定義 (https://youtu.be/hZT2fOcxSJw)
重點二：極限的嚴格定義 (https://youtu.be/gCkhy0aODZk)
重點三：一些基本函數的極限 (上集) (https://youtu.be/qoIOFz1D_W4)
重點四：極限運算定理 (四則運算篇) (https://youtu.be/d6PzP8ApFgk)
重點五：極限運算定理 (合成篇) (https://youtu.be/h2X2yyGyWHQ)
重點六：去零因子求極限 (https://youtu.be/vqoc59G-gRI)
重點七：去絕對值求極限 (https://youtu.be/PYzasrBZWWA)
重點八：高斯符號求極限 (https://youtu.be/EXKQQS17k2Y)
├ 精選範例 8-1 👈 目前在這裡
└ 精選範例 8-2 (https://youtu.be/_9ca8cSFtpg)
重點九：含無窮符號之極限 (https://youtu.be/RhKkx7DO_kM)
重點十之一：老大比較法 (上)：多項式分式 (https://youtu.be/Wr6rkCa1Neo)
重點十之二：老大比較法 (中)：指數函數多項式 (https://youtu.be/FYGzcSw0U0s)
重點十之三：老大比較法 (下)：叉叉接旨刺 log (https://youtu.be/YbvXCZmmff4)
重點十一：夾擠定理 (https://youtu.be/sTvtt4K85s0)
重點十二：lim_(x→0) sin(x) / x 專論 (https://youtu.be/sVohBWF-6ww)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
【數列與級數】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjcv6ChH_w0Y0WRkdbiP6xY)
【多變數函數的微積分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhoWH8tB00L6d3tWMV1l_o8)
【向量微積分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhVcuTj1IoCcYsRhJqoHN-y)
【附註】
1. 積分前篇和後篇自 2021 年 5 月起改成買張旭微積分上學期講義解鎖影片
2. 數列與級數以後的章節為下學期內容，為付費課程，購買後在張旭無限教室線上課程平台觀看
張旭微積分上學期講義購買頁面
👉 https://www.changhsumath.cc/calculusBook
張旭微積分下學期課程影片將不會在 YouTube 頻道上免費公開
若你覺得我的課程適合你，且你下學期也有微積分要修
可以參考購課頁面 👉 https://www.changhsumath.cc/calculus2nd
【張旭無限教室線上課程平台】
2021 年年初，我建置了一個線上課程平台
除了放我的線上課程以外
也有其他與我合作的老師們的課程
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