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【極限的嚴格定義？大一新生的大難關】
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∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t.,
∀ 0 < | x - a | < δ, | f(x) - L | < ε
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這一大串看似咒語的數學敘述
是很多大一新生初學大學微積分的難關
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而那一大串咒語所代表的意思
就是當 x 趨近 a 時，f(x) 會趨近 L
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剛高中畢業的同學或許會覺得奇怪
函數的極限，不是看左右極限就好了？
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其實不然，像下面這個例子：
lim_{x→0} sin(x) / x
其函數圖形不好畫
所以不容易直接從圖形看出左右極限
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因此數學家才需要發展極限的嚴格定義
就是最前面看到的那串咒語
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從該定義出發
先解決基本函數的極限
然後證明函數的極限公式
再搭配一些計算技巧和定理
最終就能靠計算得到大部分函數的極限
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像剛剛提到的那個例子也行
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知道那個例子的答案是多少嗎？
知道的同學下面刷一排答案唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
【為什麼學微積分要先學極限？】
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微積分是一門關於微分與積分的學問，微分是探究瞬間變化程度的學問，積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率（瞬時速度），那就需要微分；又例如計算一區域在地圖上的面積，那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動，又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形，那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積；但是，一般而言，運動物體不會是等速度運動，而地圖上的區域大多是不規則的，因此，微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
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不過，既然是要學「微分」和「積分」，那關「極限」什麼事呢？是這樣的，在有微積分以前，人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度，也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題，我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索，看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
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就瞬時速度而言，我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度，也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想，一個正在用不規律速度行駛的車子，他前進的速度本來就會有時快、有時慢，那麼，我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢？如果這個量值越大，就代表速度越快，反之代表速度越慢？這乍聽下來好像可行，但在還沒有微積分的時代裡，若再進一步細想下去，就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度，就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置；然而，瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說，實作上在求瞬時速度的時候，會遇到一個難題，那就是只有一個時間的位置，所以無法求速度。
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為了解決這個問題，我們退而求其次地，在所關心的時間點以外，物體運動的時間範圍內，離所關心的時間點附近再取一個時間點，然後用這兩個時間點的速度，來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字，顯而易見地，就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度，因為只要多取出來的時間點不一樣，就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用，而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡，我們必須引進一個新的概念，那就是「極限」。
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既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度，那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢？這是一個相當好的想法，雖然可能還有很多細節需要處理，但基本上這個逼近的動作，已經解決了算瞬時速度的問題，這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣，都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣（當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的，而這部分確實後來的數學家有順利解決，我們在此暫不討論，也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章）。
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因此，後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度，而這個方案裡面的計算方式，在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後，就發展成了日後我們講的微分，而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念，其動作最後也就是我們講的「取極限」，所以為什麼在學微分之前要先學極限？因為微分這個動作，其本質就是取極限的過程。
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積分也有類似的過程，為了算不規則的區域面積，我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形（邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點），然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積；但很顯而易見地，這些矩形面積和並非原本要求的區域面積，所以我們就把這些矩形分割得越來越細，只要這些矩形能夠分割得越細，他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近，姑且不論其實作的細節，這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程，也用到了「極限」的概念。
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所以如果你打開微積分的課本，卻在一開始看見要學一整章的「極限」時，請不要意外，因為學數學就像蓋一棟樓一樣，你或許期待微積分這棟樓能建得高大，但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基，而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好，後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
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而要學習極限，雖然有一段路要走，但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片，如果想從零開始學習微積分的話，可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起，我把這部影片的連結貼在下面留言處。
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這系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！
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上次一口氣整理了 6 集複數平面上的拓樸
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Hello！我是Bonnie，大家最害怕的高中數學老師。
因為有感於現今網路多媒體遠比課本紙筆更有吸引力，所以決定除了在學校外，也在網路上分享我的生活、教學、自修以及與學生相處的小心得。
如果你還是學生，你可以發現老師其實沒那麼討人厭😂如果你已經畢業，你可以在這裡找回一點青春回憶👩🎓👨🎓
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每周爆肝系列再度來臨! 這次要來講的是漫威新影集《獵鷹與酷寒戰士》
剪輯: 麗芳、Bruce Lu
監製/編輯：黃豪瑞（Jasper）
FB(有各種影視迷因): https://www.facebook.com/tessereq/
加入會員:https://www.youtube.com/channel/UC0Q-fBheHysYWz9ObSEzMdA/join
如果你剛來，請看這裡: https://www.youtube.com/watch?v=iZj5phF46N8&list=PLNsYSXaDLA89TvBjuV3h7l0wVRSPLk7FJ&index=1
諾蘭電影全解析: https://www.youtube.com/watch?v=cv3pZ8GCNnI&list=PLNsYSXaDLA896bdu-7_WbeX4sDLI5JIjS
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在任務結束之後，他的小組搭檔知會他關於新興起的恐怖組織「旗幟破壞者」的訊息，
這個組織認為被彈指之後的世界確實是更好的世界，
更提倡一個沒有國籍、邊界的聯合世界。
順帶一提，這名搭檔是瓦金托瑞斯，在漫畫中也有帶著獵鷹的稱號，
差別就在於他是被實驗變成人鳥的混合體，不是靠機械飛行。
這個角色在漫畫中是在Sam Wilson: Captain America這個漫畫故事線中首次出現，
其中的故事提到了山姆接下年邁的美國隊長的位置，
更與旗幟破壞者以及「山寨美國隊長」USAgent交手，
所以這影集應該有受到那個系列啟發。
托瑞斯更是向山姆提起了一個陰謀論，說美國隊長住在月球上，
在漫畫中，月球上確實有人，像是之前推出影集卻完全失敗的異人族，
或是即將在動畫系列What if 出現的觀察者。
那麼，有些人一定非常好奇，美國隊長到底去哪裡了?
之前《終局之戰》的導演有解答老隊長的來龍去脈(雖然跟編劇的回答完全互相牴觸)
他們說，隊長真的是在另一個時間線與佩姬白頭偕老，
最後才回到這個時間線把盾牌交給山姆。
所以...他也許是又回到了原本的時間線?或者是不想要造成麻煩，就此歸隱了。
記得，在《蜘蛛人:離家日》之中，我們看到學生製作的影片之中有其中一個畫面是"RIP美國隊長"
所以至少世界認為他是死的
注意此處獵鷹說了一句話:
"When things get better for a group, it gets worse for others"
這裡，我們看到了漫威也許真的想要透過這部政治驚悚影集探討一些不一樣的議題，
獵鷹這句話也許不是在諷刺某個特定的事件，但是絕對是在闡述最近的政治紛爭，
無論是去年的BLM，兩方都無盡地爭論到底誰獲得了比較多好處、特權。
或是近期因為某些族群因為覺得受到進步派興起而日漸壯大的民粹主義，
現代兩極化的政治，全都是起因於「我的東西被另一群人奪走了」。
如英國脫歐，就是原本的英國人因為歐盟移民而感到自己的生存空間被壓縮，
就是因為傳統的價值受到挑戰，而一開口就受到訕笑，才會使脫歐公投成功
甚至是到台灣最近雙方都互相恥笑的政治，全都來自於這種相互「受剝奪感」。
一旦作出修正、反彈，又換成另一方受到壓迫，於此開啟了無盡的循環。
這就只是一句話而已，也許是我想要漫威有深度，為了尋求意義而過度解讀，
但是我不這麼認為，正因為這一集接下來的發展，你馬上就會看到他們欲探討的議題了。
任務完成，山姆來到華盛頓DC發表演說，將美國隊長的盾牌隆重的歸還給政府保管，
他認為一個象徵，如果少了背後帶來象徵的人，就會失去意義。
這種觀點跟《黑暗騎士》三部曲所闡述的觀點完全相反，或許很多人也不會認同，
但是這兩種觀點並沒有對錯，象徵確實是能夠給人帶來希望以及啟發，
然而，如果實際履行理想的人已經不在了，我們是否只是在緬懷歷史?
《獵鷹與酷寒戰士》從前幾場戲就連續展現
它將用超級英雄的故事探討再人性不過的問題:
傳承以及身分。
什麼是傳承?傳承不就是在一個你永遠也看不到的花園裡種下一顆種子，
這不只跟傳承者有關，那些往後在花園裡倘佯的人們，
也必須面對維護這個花園的重擔。
我們，要如何知道前人對於他傳承事物的期待是什麼，其他人又是怎麼看待我們處理這些傳承的?
究竟，我們有沒有義務接下這個我們不願接下、或是無法接下的責任?
美國隊長確實是一個傳奇性的象徵，他象徵著希望、改變、以及堅毅不拔的精神，
有些人也許會說山姆將盾牌歸還政府保管，
將美國隊長的稱號拱手讓人的選擇是個不負責任，甚至懦弱的展現。
但這也正是漫威英雄吸引人之處。
在多數時候，我們看到的英雄，摘下面具終究是一個「人」，
對自己身分感到懷疑、為自己能力不足感到懼怕，是再也人性不過的事了。
山姆可能是因為認為自己不夠格，也可能是不想活在史帝夫的陰影之中。
無論如何，如果這影集接下來能夠不只是蜻蜓點水地探討這個主題，那絕對會是漫威的一大創舉。
接下來，有在現場的戰爭機器找他私下聊天，在對話中隱隱透露了自己擔憂，
現在鋼鐵人跟美國隊長都走了，輪到誰來保護世界?
不需要明說，其實我們也看得出來他自己正在思索如何維護鋼鐵人的遺志，
我就問一句:
為什麼我們這麼少看到超級英雄作品的角色用這種「表面說一句，心理說另一句」的方式呈現?
就因為他們穿著緊身衣，不代表我們不能像這樣給他們微妙的對白啊!
故事此時一個大轉折，我們看到巴奇，也就是酷寒戰士，殘忍地屠殺一群人，
這段真的超兒童不宜，
最後甚至還冷血處決了一個只是剛好倒楣經過現場的路人。
巴奇突然驚醒，我們才知道這全是一場夢境。
在這裡，你可以看到巴奇睡在地板上，這正是戰爭對他帶來的影響，
山姆在《美國隊長2》也有提到這點
畫面再切到他坐在諮商室，心理諮商師問他最近做了什麼噩夢，
想當然耳，他含糊帶過，
但是坦承了他依照諮商師的指示開始「彌補過去」，也就是修正了他在酷寒戰士時期所犯下的錯，
其中一個目標就是被他拱成參議員的九頭蛇走狗，
而他彌補的方式，就是讓參議員被逮捕。
而這整段-抱歉，我會一直稱讚這部影集-透過與諮商師的對話直接尖銳地解構巴奇這個角色，
更在這場極為安靜，後半段甚至只有特寫的戲之中，探討創傷後遺症的影響。
注意此處用了異常的構圖，讓巴奇處於壁紙下方，
象徵著他現在仍然受到這個看似祥和的世界壓迫。
巴奇一直以來都是像是個襯托美國隊長的配角，現在我們終於開始進入他的本質。
跟汪達一樣，這影集透過他來探討創傷，
但是巴奇的創傷不是來自於他所失去的親人，而是自己在過去犯下的駭人罪行，
雖然他並不是出於自願，但是就如現實生活中，
人們總會將許多錯誤完全怪罪於自己身上，久而久之，
這就形成了一層如繭一般的防護網，把所有試圖親近之人都拒於門外。
就如巴奇現在所做的一樣，我們害怕會再次犯錯，即使那錯誤並不見得是出於自己。
即使是如這場戲之中的醫生，堅定地告訴巴奇「你自由了」，
失去指令和目標的他反而變得漫無目地與迷惘，
這個世界仍然有如囚牢，好似隨時都會再次把他一把攫走
而每個人面對創傷的方式也都有所不同，有時較為劇烈，
像是把一整個城鎮綁架飾演一場情境喜劇之類的劇烈法。
有時，如巴奇，不過就是想彌補自己曾造成的傷害。
無論採用什麼方式面對，漫威目前這兩部影集都顯示「孤立」所帶來的附帶傷害，
就這樣，在這五分鐘之內，這影集就給巴奇帶來了好幾部電影都無法達成的立體。
回到故事劇情，我們看到巴奇幫鄰居解決糾紛之後-
你沒有聽錯，幫鄰居解決糾紛，這影集就是這麼日常化，我超愛。
這也讓人想起了美國隊長第一集，
巴奇真的很愛在巷子裡救人。
兩人到壽司店吃飯，而鄰居就這樣一言不合幫他把妹，
問服務生要不要跟巴奇約會，而對方就這樣爽快地答應。
但是鄰居在看到桌上的紅豆麻糬之後，突然潸然淚下，
說他兒子以前最愛吃麻糬，但是在出差的時候突然被殺害，警方也不願意告知死因。
我們可以看得到巴奇的神情不太舒服，等一下就會知道為什麼了。
接下來的這場戲則更讓人驚喜，畫面來到了山姆的老家，
我們才知道他有個妹妹，還有兩個外甥，
在對話之中，我們得知了妹妹因為經濟困難而想要賣掉父母親所遺留的的漁船，
但是山姆不願意，認為一定有其他的解決辦法，他可是復仇者聯盟的獵鷹啊!
這一整段，以及接下來的許多橋段，都是用這種寫實主義的自然手法拍攝，
運用手持鏡頭，親密地跟隨角色。
如果你給一個不知情的人看，他甚至會以為這是個小眾獨立電影。
(再次表示，我真的超愛。)
在多次上演拯救世界以及英雄內心掙扎的偉大戲碼之後，
漫威在山姆身上第一次探討了所有人-幾乎所有人-
都會面臨的問題:錢。
你可能會想問:為什麼?
漫威有這麼多形形色色的角色，為什麼要兩個角色探討如此稀鬆平常的問題?
但這也許就是重點-希望是啦。
這影集接著《汪達幻視》的奇異詭譎，從預告中看來似乎又要走回漫威的公式化，
可能是間諜片、又是可能戰爭片，總之就是會以很爽的動作戲作為核心。
然而，第一集直接告訴了觀眾，不，這並不只是那樣的影集，
我們要把這幾個角色當成人來看，這已經不再是你習慣的超級英雄作品了。
而在這樣的切入點之下，
我們更能夠深刻體會彈指以及五年後反彈指兩大事件對於這個世界的劇烈影響，
這不再只是個毀天滅地的危機，而是深刻影響到原先社會的本質，甚至造成歧異的變因。
想想看，在彈指之後，世界全然失序，有些人失去身邊的人，重要基礎機能無法運作，
在一陣慌張之後，世界好不容易恢復運作，人們好不容易學會放下，
但是...在五年之後，浩克彈指，消失的人口忽然又出現。
這好不容易重新建立的秩序又瞬間被打亂，
人們辛苦建立的生命觀又變成了不知如何應對的焦慮。
光是從山姆與沒被彈走的妹妹對話就能看得出來，
那些留在世上的人，必須獨自面對被彈掉的人無須面對的恐懼以及無助，
當然也無法維持正向思考，只求如何生存下去。
而這也不只是漫威奇幻的世界，在現實世界中的2020年之後，
我們恐怕也無法完全回復以往的狀態。
說說看，即使是在疫情完全解決之後，你敢不戴口罩上捷運嗎?
故事回到山姆身上，他與妹妹到銀行貸款，但是，即使山姆是個多次拯救世界的英雄，
銀行還是無法借錢，他們只能悻悻然地離開。
這十足顯現了山姆所代表的問題，即使是像他這樣的英雄，
還是會面臨現在眾多非裔美國人面臨的問題。
不是明擺著的歧視，那當然還是有，而是這種因為膚色而產生的差別待遇，
我不敢說如果他是白人就能馬上借到錢什麼的，但是這場戲絕對是有其諷刺標的，
無論是日漸重新崛起的種族主義，還是只能在底層打轉、永不得翻身的邊緣族群。
更是一再深化「彈指」這個漫威大事件對於一般市民所造成的影響，
這不只是失去自己親近的人而已，更是加強了人與人之間的隔閡以及不信任。
全宇宙的人，等於是硬生生地產生了五年的代溝。
也許，山姆無法接下美國隊長的傳承，還是與自己的身分不斷掙扎，
就是因為他打從心底知道，分歧的美國，還是無法完全接受他成為美國隊長。
當然，漫畫中也有一個橋段直接講出了這點
下一場戲，則更加深了這點諷刺，
山姆在電視上看到了國防部驚為天人的宣布:
為了維持美國的傳統，保持啟發人的象徵，國家決定指派新一任的美國隊長，
他手上拿的，就是山姆捐贈給博物館的盾牌。
此外，你還可以看到他的腰間掛了一把槍，
一個美國隊長在二戰過後就再也沒有使用過的武器，
當然，你不用槍，怎麼代表美國價值勒?
而這一整段刻意呈現得像《黑袍糾察隊》那種假惺惺的人工英雄形象，
新美國隊長的微笑看起來正義凜然，卻又不懷好意。
再一次地，這影集又強化了「傳承」這主題，
一個人的傳承並不是自己，或是自己真正在乎的人所能夠定義的，
傳承，或是象徵，許多時候只會被某些強大勢力用來操作情勢，達成私利。
但是，這樣反而也更顯現了像是山姆以及巴奇這種人存在的必要性，
也證明美國隊長看上他們繼承自己理念的眼光。
汪達幻視 正義聯盟 獵鷹與酷寒戰士
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有時候，公式用太熟也會害到自己
如果用公式覺得太因難的話
不妨返璞歸真試著用定義計算看看吧！
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謝謝～
這個系列將會以解數甲微積分題目為主
每次影片都會講一個題型，而且會出一個類題讓大家練習
這個類題會在下次的影片開頭講解
所以同學們可以跟著這系列的影片一起練習數甲微積分
沒意外的話我每天都會上片
薄積而厚發
希望這樣的影片對同學們都能有所幫助
上一題 👉 https://youtu.be/qpioIBU1_-Q
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