[想攝影146] 細說分鏡 Vol.23
🎥 影片時間連結：https://youtu.be/3XpWY8Xbe5U?t=329
🖍我做的是
🖍努力再努力，嚐試紮實的傳達每一個想法
🖍分享給你的，並不只是「攝影的基礎」
🖍更期待你也能體會，我心中攝影的世界
「師者，傳道、授業、解惑也」，我覺得最難的部分，大概就是「解惑」吧，如果「下課」對於老師是指…，時間到了，把該教的東西教完了，學生學會了，那工作就結束了，那我想這樣子的「下課」是簡單的，但身為「老師」，以及身為「創作者」角色，我的心情並沒有隨著鐘聲而下課，因為我本身仍是不斷的「創作」，並且將「創作」的東西，帶回到課堂上，與學生分享
🟥備課漢
我還記得一開始在教攝影時，每周都在「備課、備課」，這個班上完了第二堂，也許二天後換下個班上同一堂課，二天的時間檢討一下講義內容，修修補補改改，以修改後的講義，拿下一個班嚐試看看有沒有更好，然後不斷的重複下去。
開始教攝影頭一年，不時都在「備課」是真的，因為不夠熟練教學內容、技巧，要把腦中會的東西「攤在學生眼前成為講義」非常苦惱，一份講義改上非常多回，每改一次，多少會影響上課表現，有時改的不錯，前文搭後文串得不錯，節奏流暢，覺得這樣子改就對了。
但到了下一堂課，也許隔沒兩天，同一份講義在不同班級，又覺得不對勁了，前一堂課給自己表現也許有 90 分，這一堂課又倒退為 70 分，又在檢討哪裡不對勁? 明明都一樣的東西，學生也都是初學者，怎麼會落差這麼大呢?
然後再修改、再嚐試，直到一份講義適應了每一堂課的學生，表現也都差不多，那麼這份講義就算是「安全了」，未來要再變動的機會不大，最多是把裡頭的例子稍微換點新拍的例子，雖然是訴說相同概念，學生也不知道眼前頭影片是「新的例子」，但對老師來說，這很重要，同一張照片講上數十次、近百次，其實也會很膩，換換新照片，讓自己上課的心情好一點也是不錯。
每天面對著「上課、檢討、修改、再上課、再檢討、再修改」，每天都在反複做這些事情，「備課漢」那段時光，我仍現在仍深深體會。
🟥舉手提問
學生觀念沒學懂，老師責任最大，但這個「不懂」是哪裡不懂，需要在課堂上搭配一些教學技巧，打好上課氣氛，才能讓台下學生別畏懼「舉手」發問，說到這，真的不得不說，我們台灣人上課風氣與文化真的需要改改，不懂也不敢問，怕問了蠢問題被他人視為傻子，但通常舉手發問的學生，往往自己學習效果最好，正是因為「不懂」加上自己「主動」，才能在課程中學到該學到的部分。
🔹但身為老師，其實我是「非常感謝舉手發問的同學」，理由有三點。🔹
其一是讓整場 2 小時的課程，不會讓老師像是在唱「獨腳戲」一樣，一個人在台上自顧自的說完整個課程，再數著還有幾頁投影片要講，那…其實有一點痛苦，說真的，舉手發問的學生能改變上課氣氛，同一門課在二個班，只要一個班有那麼 1-2 個學生真能發問的話，整個 12 堂課都會非常和樂融融，反之亦然。
第二點，若是學生提問，更能帶動整個課程的「深度討論」，如果問題適合該堂課，反而會為了解決學生的問題，讓我延伸更多深入的觀念，或是引用更活潑的例子，學生獲得的更多，我很喜歡這樣子「有問有答」的上課方式，或許未來課程設計，就設計一堂「你問、我答」，或許這是一個不錯的課程設計。
🔹第三點，對身為「老師」是最重要的 – 透過學生提問，才知道自己哪裡講的不好、不夠清楚，還是太快? 還是自以為學生懂? 最後這點才是最糟糕的，這是「授課」不是「個人表演」，重點是學生吸收，而不是台上老師個人表演 show，如果沒有學生提問，反而老師會沉浸一種「自 High」的心情，覺得自己真的好棒棒，內容超紮實，學生都沒問題，都聽得懂，如果真的身為老師真心這麼認為，我想…，這老師要小心了。🔹
其實還有第四點，至少對我來說…這點比前三點還重要要，透過學生的發問，我才知道原來「這個你不懂」，雖然講義也寫明，透過問答也解決當下問題，但我反而會特別將學生的提問，成為我攝影網站教學的文章題材，一但文章上線後，我再帶回來修改講義，有好有壞，好的是讓講義內容更加充實，壞的是頁數一直增加，從 2 小時 100 頁，一路加到 110 頁、120 頁，這樣子一直增加下去也沒完沒了，又得要回頭適當的刪減…，這對講義來說是很大的變動，不但影響課程設計主旨，同時也會影響上課節奏。
🟥為何你不懂?
傳道、授業並不難，只要針對學生問題「加以解答」就好，如果能真的讓學生滿意，那這一問答過程，是對學生、老師完成一項任務，學生既能學到東西，老師也能知道學生哪裡不懂，教學相長。
難的是「解惑」，如果用在攝影教學上，我是這麼樣的解釋：
🔹身為老師，難的不是備課的辛苦，也不是回覆學生的問題，難的是去了解「為何大家都了解，偏偏你不懂」，如果大家都是初學者，同處一個班級，聽到的東西看到的講義也都相同，有什麼原因讓你「不懂」，這個不但困惑著學生，更困惑著老師。🔹
但這也不意外，坐在台下的學生，雖然每個都是「攝影初學者」，但終究素質不一，有些人稍微接觸過一些，有些人則完全沒概念，在講述一個抽象觀念，透過實體例子來講解，不見得台下每個同學都能接受，這跟每個人生活經驗多少都有關係，但解決的辦法，就是用更多不同的例子，來解釋相同的一句話，多少能解決這個困境。
🔹當一個學生提問，對我的挑戰不是如何回答表面的問題，而是「你為何不懂」，究竟是什麼原因讓你感到「困惑」，如果課堂上有機會我會多問二句，而若是一對一的教學，更讓我有機會透過學生「表面所提問的問題」，去挖堀問題背後的問題，這一挖堀反而讓我感覺到「問題表面終究是冰山一角，問題底下永遠藏著另外的問題」問到再深，往往會離了題，有時反而變成去「了解這個學生 “生活、生命” 的經驗」，才比較能了解為何相同的課程，有些學生有問題，有些則完全不被困擾過。🔹
🟥老師，沒熱忱了怎辦
在一次外拍，一位同學靠近我問說「老師，我拍照也拍了二、三年，很多主題也都拍過了，雖然稱不上多好，但好像也都體驗過了，好像有點失去熱忱了」，這問題真是個大問題，一時間也無法好好的回答，不過我也稍微跟他聊聊「熱忱」這件事。
🔹相信你也接觸很多不同的攝影主題，找到哪些喜歡、不喜歡，喜歡的主題追求下去，不喜歡的主題就避開，沒有人什麼主題都喜歡拍，更沒有人什麼主題都拍得精彩，我是你的話，我會在自己喜歡的主題，找到拍得比我更利害的攝影師，破解他的技巧，並且嚐試拍出讓人一眼就認得出「這就是你的風格」，不彷試看看朝著這樣子努力看看。🔹
不知道他能聽懂多少，也許…，我這番話他也曾在別的老師口中聽到，我也不確定他有沒有嚐試過，但是若要談談「熱忱」這件事，我可是能夠花上數萬字來說說我拍照至今近 20 年下來，心裡那「熱忱如何起伏、心裡峰迴路轉折的心路歷程，甚至一度還真想放棄攝影，把相機、鏡頭通通賣掉的衝動…」，我很想分享，但不是今天。
🔹我已經有一個…，我這輩子對於「攝影熱忱」有了定義，以及設定了目標，這目標永遠達不成，只能在有生之年，看是能做到哪裡，就到哪裡，直到我相機拿不動、雙腿走不遠、眼睛看不清、腰也打不直那天為止吧，今天我並不害怕是否會失去「攝影的熱忱」，但我該如何也讓他人跟我一樣，找到自己的「攝影熱忱」並且設定目標持往下走呢?🔹
🔹我想做為「攝影老師」，應該做的不只是教導課堂上的知識外，更應該開拓學生的「視野」，讓學生除了學到該學的知識、技巧外，更能讓「攝影」，成為他們生命中，如何讓自己的生命、生活過的更開心、更美好的一項美好的事情，這點是我認為，身為他人攝影老師，所應該肩負的責任。🔹
當我開始嚐試走出國外，且還是用「自助旅行」的方式開始第一步，由於自助旅行自由度非常高，你能自由地安排任何你想去的地方、待多久隨便你選擇，讓我對陌生的國家的「好奇心」，在此自由下得到大大的滿足，開拓了我不少視野，讓我知道原來世界如此的大，更期待還有什麼不曾踏過的國度，能有什麼驚豔的景觀，讓心靈空虛的我能得到一點點的救贖。
當我不斷的走，特別是這幾年跑的更勤，就像著了魔一樣停不下來，除了心裡的「好奇心」之外，同時我也在追尋一個「認識自己」的過程，到底為何那麼熱愛攝影，不只是興趣，也不只是工作，更是一份對他人、對世界的「責任」，我有這個責任，將世界上所有美好的角落帶回給所有人欣賞，這也是我對「攝影熱忱」的目標之一。
🔹但我的體會告訴我「照片離現場十萬八千里遠」，不是拍照技巧問題，是更多的「感觸」是要你親臨現場才能感受到我所感受的，於是我考上外語領隊，開始帶團，帶著我的學生、讀者造訪我看到的「世界、視野」，我相信這是另一種更積極的做法。🔹
我自認我還算幸運，能有機會與能力去這麼追尋，但並不是每個人都有這樣子的機會，於是我盡可能的，從課堂的設計，到講義的安排，至觀念的例子，盡可能將我所感受到的種種感觸，傳達給課堂的學生，以及我的讀者朋友，希望上過我課程的學生，不但能學到攝影基礎，更能感受我對攝影的熱忱，當課程結束後，進而開始尋找屬於自己的攝影熱忱與目標。
我想，讓你看到、感受到我所看到的一切，現在在設計課程，都抱著這想法在設計每一堂課、每一個觀念、例子、每一張投影片，這也是讓我的「課程」更加充實，也不至於內容一成不變。
這，就是我現在努力的方向，不只是為了學生，更是為了自己而努力。
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實數例子 在 Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問- 看板Math - 批踢踢實業坊 的必吃
※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言：
: 小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭
: ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。
: 由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1
: 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且
: m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得
: 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑!
好像晚了(?)，無所謂來打一下好了，釐清觀念
p.s. 超長
ThePeaceMan 的問題最主要出在「無限」身上
無限並不是個容易懂的問題
數學家花了很長的時間理解無限的概念
事實上，數學界三大危機(我忘了從哪裡來的名詞)
1. 無理數(無法寫成有有理數比值)
2. 微積分(無限小) 3. 集合論(無限大)
或多或少都跟無限有關係
要徹底解決 ThePeaceMan 的問題
還是直接把數學家定義「無限」的方式，給學過一遍會比較好
A. 正整數
Peano對自然數有個定義
不過就算沒這個定義，自然數大家都懂
(Def) 「有限」的意思，就是總共有n個，n是隨便一個自然數
(Def) 「無限大」的意思，就是比所有自然數都還要大
因此可以立刻得到一個結論
(Prop) 自然數的個數是「無限大」，也就是自然數有無限多個
因為從1開始數，數到n+1就代表自然數的個數比n多，因此由數學歸納法得證
另外，還有個明顯的結論
(Prop) 「無限大」不是自然數
因為如果是，「無限大」等於n，那n+1就比「無限大」還大，矛盾
總結以上，就會得到很神奇的說法：
每個自然數都是有限的，但自然數有無限多個，而且無限大不是自然數
還有個特別容易混淆的地方：
數學歸納法可以證明每個自然數都正確，但不能證明無限大也是正確的
畢竟數學歸納法是倒骨牌，每張骨牌都是都是有編號的，當然都算有限
B. 有理數
數學家有個從正整數生出整數的定義
還有個從整數生出有理數的定義(而且其實兩個差不多)
可是那很麻煩，這邊靠國中直覺就好了
有理數，就是兩個整數a, b的比值(b不能是0)
(Prop) 有理數對加減乘除皆有封閉性
證明很直觀但打字很累我懶
(Prop) 有理數具有稠密性
這個也很直觀，加起來除以二就好
但是會用到有理數一堆其他性質，全部打出來也很多所以不打XD
重點是以下這個
(Prop) 有理數符合阿基米德公理(Archimedean Property)
給定某個有理數 x 和某個正有理數 y > 0
一定有個正整數 n 使得 ny > x
證明上，把分母乘一乘變整數就結束了
這個性質看起來有點冗長，舉例來說就是
不管硬碟(x)有多大，檔案(y)有多小，只要檔案夠多(n)，一定能把硬碟撐爆
所以現在來討論有理數版本的無限
(Def) 「有限」即為任意有理數
(Def) 「(正)無限大」的意思是比任何有理數都還要大
(Def) 「(正)無限小」的意思是比0大，但比任何正有理數還要小
根據阿基米德公理，立刻可以得到
(Prop) 「無限大」和「無限小」通通不是無理數
因為只要把「無限大」當硬碟，或是把「無限小」當檔案，就得到矛盾了
值得注意的是，其實無限小的定義可以改成
(Def) 「無限小2」的意思是大於等於0，但比任何正有理數還要小
那很容易證明「無限小2」就是0，跟V大說法一致
另外，有個必須提的地方，那就是封閉性的擴張版本
(Prop) 任意n個有理數相加仍然是有理數，n是自然數
這顯然可以用數學歸納法證出來
但是上面說過了，數學歸納法證明了所有有限的情況，但不能證明無限的情況
所以有限個有理數相加有封閉性，無限個有理數相加就不知道了
諸如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
或是 1 + 0.4 + 0.01 + 0.004 + 0.0002 + 0.00001 + ...
這種無窮級數的情況，即使是一堆有理數相加，也不保證會加出有理數
(雖然也有可能是有理數就是了，像第一排級數是2，第二排級數是√2)
C. 實數
我喜歡用Dedekind的方式，這裡會從有理數的洞開始講
而且這裡不會照國高中的直觀方式，會認真走一次實數的定義
實際上這是學極限和微積分的基礎
我們把所有有理數 Q 分成兩半， Q = A 聯集 B， A 和 B 互斥
A集合: 如果 x 在 A 裡面，y 比 x 還要小，則 y 也在 A 裡面
B集合: 如果 x 在 B 裡面，y 比 x 還要大，則 x 也在 B 裡面
畫一條有理數線，就能很明確看出來 A 是左半邊，B是右半邊
詳細來說，會發生以下三種情況
(1) A有最大值，B沒有最小值
Ａ───────●
○───────Ｂ
(2) A沒有最大值，而B有最小值
Ａ───────○
●───────Ｂ
(3) A沒有最大值，B也沒有最小值
Ａ───────○
○───────Ｂ
(1) 的例子是 {x <= 0} 和 {x > 0}
(2) 的例子是 {x < 0} 和 {x >= 0}
(3) 就很神奇了，怎麼會兩個都白圈圈呢，但還真的有這個情況
例子是 A = {有理數 x 符合 x < 0 或是 x^2 < 2}
B = {有理數 x 符合 x > 0 且 x^2 > 2}
中間看起來有個數不見了，沒錯就是√2，但不需要管它，因為它不是有理數
(而且定義只使用了有理數喔，沒有碰到√2)
現在假設 u > 0 是 A 裡面的最大值，則考慮 v = (2u+2)/(u+2)
2 - v^2 = 2 - (4u^2+8u+4)/(u^2+4u+4) = 2(2-u^2)/(u+2)^2 > 0
以及 v - u = (2-u^2)/(u+2) > 0
因此 v 也在 A 裡面，但是 v > u 矛盾
同樣的，假設 u 是 B 裡面的最小值，考慮 v = (2u+2)/(u+2)
可以得到 v 也在 B 裡面，但 v < u 矛盾
所以這的確是(3)的例子，我們把這種情況叫做有理數的洞
這造成了一個現象，即使有理數具有稠密性，但有理數還是會有洞
同時也回答了 ThePeaceMan 的一個問題
沒錯是有有理數 m < √2 < n，而且 m 和 n 中間有一堆有理數，例如c
但是怎麼切，要馬 c < √2，要馬 c > √2，總是摸不到√2
更糟的是不管切幾次都切不到√2
可是又不能切無限次 (不然就不一定是有理數了)
實數就是來解決這個問題的。
建構實數是一個補洞的過程
實數必須要連洞都沒有，我們稱為實數的完備性
比起稠密性，大概是巧克力醬和巧克力粉的差別(才不是這樣)
也就是說，如果實數 R 也照上面的切法 R = A 聯集 B
則只有(1)和(2)會出現，不會有(3)的洞
同時實數允許「切無限次」和「加無限次」的行為
數學上稱之為極限，這下面會提到
(Def) A集合是一個「切割」(cut)，代表A集合滿足
(i) A集合的元素都是有理數
(ii) A不是空集合，也不是全有理數集合
(iii) 如果 x 屬於 A，y < x，則 y 也屬於 A
(iv) 如果 x 屬於 A，則必定有個 z > x，且 z 仍然屬於 A
A集合的樣子就是 Ａ───────○
(iv)是這個定義的靈魂，它代表A集合右端是白圈圈，也就是A集合沒有最大值
雖然A集合內所有數都是有理數，但白圈圈那個位置不見得是有理數
B集合不需要特別定義，因為只要令 B = Q - A 就好
接著，Dedekind就超沒道理的宣布所有「切割」都是實數，組成實數集合
原則上可以想像每個「切割」就代表那個處於白圈圈所在的點
Ａ───────○
─────────┼─────→
●
Ａ
不過在證明的時候，回到原本「切割」的定義才好做
另外所有有理數 q 都能用 { x < q } 來代表
所以有理數可以融進實數裡面
並且保有所有有理數原本該有的性質
既然說是實數，那就必須要驗證數學上實數的定義
(a) 實數對加減乘除有封閉性，加乘有交換律結合律分配律
(b) 實數可以比大小，且某種程度上能和(a)融合
(c) 實數具有完備性
(a)和(b)其實是一大票定義和冗長的證明(cf. Rudin)
而且有理數也有這些性質。實數只多了有理數一個(c)
這邊只示範為什麼(c)是對的
====================== (c) 的證明很長可跳過 ============================
首先，兩個「切割」的比大小，其實是比誰比較長，集合上則是誰包含誰
也就是說 A <= C 意思就是 A 包含於 C
Ａ───────○
Ｃ─────────○
因此，如果有一堆「切割」要取最大值，有一個捷徑
那就是把所有「切割」當成集合取聯集就好
關鍵是，聯集不只可以聯集有限個集合，也可以聯集無限個集合，毫無壓力
p.s. 有限個「切割」聯集出來的東西，會是原本「切割」的其中一個
但無限個「切割」聯集出來的東西，可以不是原本「切割」的任何一個
例如令 A_n = { x < -1/n}
則所有 A_n 的聯集是 A = { x < 0 } ，因為所有負數都總比一個 -1/n 小
顯然 A 不是任何一個 A_n
數學上分成 maximum (最大值) 和 supremum (...好像沒名字orz)
這兩個最大的差別是，max要是原本的其中一個，sup可以不用
現在我們把 R 切成兩個集合 LEFT 和 RIGHT，R = LEFT 聯集 RIGHT，兩者互斥
若 A 在 LEFT 裡面，B < A，則 B 也在 LEFT 裡面
若 A 在 RIGHT 裡面，B > A，則 B 也在 RIGHT 裡面
ＬＥＦＴ ＲＩＧＨＴ
‧
Ａ───────○ ‧
Ｂ───○ ‧
Ｃ─────────○ ‧
‧
───────────‧─○ Ｘ
───────────‧────────○ Ｙ
───────────‧────○ Ｚ
‧
概念上和 Q = A 聯集 B 一樣，只是硬要用「切割」畫圖就很醜
(用「切割」對應實數點的原則，用實數點畫，就完全沒兩樣了，但是會混淆XD)
現在令 L = 所有 LEFT 裡面「切割」的聯集
明顯的 L 也是個「切割」(都長那個樣子，左邊一條線加白圈圈)
p.s. L 不一定是原本 LEFT 裡面任一個，所以 L 不見得要在 LEFT 裡面
於是根據 L 所屬分成兩個情況
(Case 1) L 屬於 LEFT
如果 A 是 LEFT 的「切割」，既然 L 是所有人聯集
那 L 就包含 A，因此 L >= A；
既然 A 是隨便一個，那 L >= 所有 A，也就是說 L 是 LEFT 中的最大值
(Case 2) L 屬於 RIGHT
如果 Z 是 RIGHT 的「切割」，那 Z 就不在 LEFT 裡面
對於任何 A 是 LEFT 的「切割」，如果 Z < A，Z 就也在 LEFT 裡面，矛盾
因此 Z >= A；既然 A 是隨便一個，Z >= 所有 A
那 Z 也 >= 所有 A 的聯集，也就是 L；
既然 Z 也是隨便一個，代表所有 Z 都 >= L，因此 L 是 RIGHT 中的最小值
因此把實數切成兩半，只會有(1)和(2)的情況，就不會有(3)了
沒有洞就代表實數具有完備性
============================ (c)的證明結束 ===========================
嘛，用中文寫會很冗，實際上用數學符號寫沒那麼長啦
每步都很基本，但全部加起來不見得很好懂，總之數學系的證明大多都長這樣
D. 實數的完備性
實數的完備性有很多等價的敘述(cf. wiki)
有很多看起來很天然的性質，一些說起來理所當然的東西
背後其實都是實數的完備性
以下是實數的完備性的等價敘述之一
(Prop) 給定遞增的實數數列 a_1 <= a_2 <= a_3 <= ...
如果有個上界 M >= 所有 a_k
則有唯一一個最小上界 a ，不但 >= 所有 a_k ，還 <= 所有其他可能的上界
證明跟上面的(c)半斤八兩
這個畫圖非常容易理解(但是ptt很難畫qw q)
Ｍ ──────────────
ａ ──────────────
‧ ‧
‧ ‧
‧
‧
‧
ａ＿１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
大概就是如果雲一直飄高，且上面被蓋住(M)，那就一定有水平漸近線(a)的意思
而且這條漸近線顯然不應該有兩條
把√2將Q分成A和B的例子改一改，就能說明有理數辦不到這件事
(因為那條該有的漸進線√2不是個有理數)
這是實數才有的性質，完備性的特權
從此之後，我們才能定義，國高中當成理所當然的，各種常見實數
(Def) 「無限小數」是某個遞增有限小數的最小上界(漸近線)
(有限小數都是有理數，而有理數都是實數)
舉例，pi 是數列 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... 的最小上界
(Thm) 所有無限小數都是實數
這不明擺著剛好用上面那個Prop
實際上所有實數都能寫成有限或無限小數(煩躁的十進位證明)
也就是「實數」=「所有小數」
(Thm) 對於任何正實數 a，正整數 n
必定有唯一一個正實數 x 滿足 x^n = a
這個證明有點麻煩就省略了(cf. Rudin)
(Def) 上面那個 x 叫做 a 的 n 次方根，也就是 ^n√a，或者 a^(1/n)
(Def) a > 0, 如果 r 是有理數 p/q，則 a^r = (a^(1/q))^p
(Def) a > 0, 如果 r 不是有理數，把 r 寫成遞增有理數數列 r_1, r_2, ... 的上界
則 a^r 就是 a^(r_1), a^(r_2), a^(r_3), ... 的上界
所以 2^pi 或是 (√2)^(√2) 等神奇的東西就能定義了
高中課本其實也是這樣寫，只是通常說是被一個數列「趨近」，然後就帶過了
sin x 等三角函數數值比較無解一點
這要學到微積分的泰勒展開式才能輕鬆說明他們是實數
另外，實數的完備性也能拿來證明實數滿足阿基米德公理
(Def) 「有限」即為任意實數
(Def) 「(正)無限大」的意思是比任何實數都還要大
(Def) 「(正)無限小」的意思是比0大，但比任何正實數還要小
根據阿基米德公理，可以得到
(Prop) 「無限大」和「無限小」通通不是實數
E. 極限
極限跟上面那個遞增數列最小上界的例子很像
基本上只差在數列不一定要遞增，所以「趨近」必須要講的非常清楚而已
(Def) 給定一個數列 a_1, a_2, a_3, ...
我們說「數列最終和 L 的誤差不超過 e > 0」
代表從某個 a_N 開始，所有 a_N, a_(N+1), a_(N+2), ...
都和 L 差不到 e，也就是 | a_k - L | < e
如果不管選哪個正數 e > 0
都有「數列最終和 L 的誤差不超過 e > 0」
那我們說「數列的極限是 L」，記作 L = lim_(n -> ∞) a_n
‧ │
＋ｅ ‧ ────────────
‧
Ｌ ──────────────
│ ‧ ‧
－ｅ ───── ‧ ──────
│
‧
ａ＿１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
├→
Ｎ
注意到當誤差 e 變小的時候，起始項 N 可能會變大
但無所謂，我們只要每個e都能找到一個N就好
隨著指定誤差 e 變小，我們可以找到更大的 N
從這項開始，a_k 都距離 L 不到指定誤差 e 以內
這就是數學上「趨近」的說法了
從這裡可以看到
「極限」本身是個類似漸近線或是目標的東西
「極限」是個定值，沒有跟著數列變動這回事
「極限」不見得要是數列中的任何一項
類似的定義，現在來說明什麼是收斂
(Def) 給定一個數列 a_1, a_2, a_3, ...
我們說「數列最終的震動誤差不超過 e > 0」
代表從某個 a_N 開始，所有 a_N, a_(N+1), a_(N+2), ...
其中任兩項都差不到 e，也就是 | a_k - a_t | < e
如果不管選哪個正數 e > 0
都有「數列最終和的震動誤差不超過 e > 0」
那我們說「數列會收斂」，或者說這是柯西數列
極限一定要先有一個 L 當基準值
但收斂不考慮這個，只是互相比較
很容易可以說明有極限的數列一定會收斂
但會收斂的數列不見得有極限
√2的例子可以生出一個收斂的有理數數列，但沒有有理數極限(因為應該要是√2)
實數的完備性能徹底解決這個問題
(Thm) 所有會收斂的實數數列，都一定有個極限
這個好像要用套圈圈定理，完備性另一個等價形式來證
從現在開始，我們都說「某個數列<a_n>收斂到極限L」
因為在實數上這兩個是同一回事
(除了L不見得能明確寫出準確值，就像沒有人能背出pi所有位數一樣)
無窮級數的收斂和數列沒兩樣，因為有限級數和本身就是一條數列
標準例子就是無窮小數了
0.999... 是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... 的極限
考慮有限級數和的話，其實就是
0.999... 是 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 的極限
當 L = 1 的時候，指定誤差 e = 0.00...01 (小數點後第 n 位是1)
則對應的 N 可以選擇 n+1，因此只要 k 超過 n+1
| 0.99...99 (k個9) - 1 | = 0.00...01 (小數點後第 k 位是1) < e
既然不管哪個指定誤差 e > 0 都有對應的 N
我們說 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 的極限就是 L = 1
可是原本我們說極限是 0.999... 啊，所以 1 = 0.999...
p.s. 極限當然不會有兩個，這很好證
至於 1 - 0.999... = 0.00...01 的說法，我個人不認同
理由應該有人說過了，因為 9 有無限多個
因此那個 1 不會在任何「有限」小數位上面
但是我們沒有「無限」小數位這種東西(無限不是個正整數)
所以那個 1 是想像出來的，本來就沒有
真要寫也是寫 1 - 0.999... = 0.000... = 0
或者說顯然 1 - 0.999... >= 0
但不管哪個k都有 1 - 0.999... < 0.00..01 (小數點後第k位為1)
所以 1 - 0.999... 只好是 0 了(因為實數沒有所謂的無限小正數)
F. 其他
快睡死了不想查，以下憑印象亂打(?)
(F1) 無理數的問題當然，就不是有理數嘛，不符畢式美學，所以有人被淹死了
後來的人接受了無理數，但就只是接受，就像小學生接受無窮小數一樣
嚴格的定義應該就是Dedekind的cut建構實數吧
(F2) 微積分的問題是分母的無限小，就dx/dt一臉0/0為什麼還除出東西
而且除出來的結果超級正確，要說對也不是說錯也不是
這個磨超久才被Cauchy解決，解決方案就是極限
最後是Weierstrass寫出嚴格的極限定義
(F3) 集合論的問題是，如果不作限制的話，會自己產生矛盾
可是集合論又是所有其他數學領域的基礎，所以所有數學家都慌了
標準悖論就是「包含所有集合的集合」「所有(不包含自己的集合)的集合」
問題通常出在集合太大，或是搞出自我指涉
Zermelo生出了一個ZF公設解決了，但詳細我也不是很清楚
集合論不但定義了無限大，而且無限大還有分類
有些無限大會比其他無限大還要大等等鬼東西(Cantor是先知，但先知死的蠻慘的)
想知道的話，先從最簡單的可數的(countable)和不可數的(uncountable)下手吧
√2 有個近似有理數數列 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ...
這個數列的特色是，例如 41/29 是所有分母為 29 或以下的數字中
和 √2 誤差最小的數字 (cf. wiki 連分數 continued fraction)
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嗯嗯ow o
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※ 編輯: Desperato (118.167.52.234), 11/08/2018 03:28:59
我只說無限小不是實數ow o
G_n = Z(當成加法群)，G = G_0 x G_1 x G_2 x ...
設 h_k = (..., 1, -10, ...), 1 是 G_(k-1) 的, -10 是 G_k 的
令 H = span(h_1, h_2, ...)
接著做 G/H，就能生出一個很像十進位的東西
設 f: G -> R, f(g_0, g_1, ...) = sum_(k=0)^inf 10^(-k) g_k
很顯然的 f(H) = {0}, 因此可以變成 f: G/H -> R
現在就能看出 G/H 中
(1, 0, 0, ...) 和 (0, 9, 9, ...) 其實是不一樣的兩個東西
他們相減是 (1, -9, -9, ...) 就差不多是無限小了
注意到 f(1, -9, -9, ...) = 0 所以在實數上看不出這東西
R其實以上是我自己掰的，我只是聽過有人說過很像這個的東西
噢噢 說不定 (1, 10, 100, 1000, ...) 就是無限大呢(?)
而且顯然考慮比大小的話 有一堆不一樣大小的無限大
我覺得我弄出了一個自己都不是很理解的東西XD 這到底是什麼RRR
(編輯) 我覺得這個有問題 先不要理我好了XD
sup S 不一定要是 E 的元素，但 lub of S 應該要是 E 的元素
所以 sup 一定會存在，lub 不一定要看 E
(我是唬爛的XD 有可能sup就像lub一樣也要是 E 的元素 那就真的沒差了)
※ 編輯: Desperato (36.228.196.163), 11/08/2018 21:39:00
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