用深度神經網路求解「薛丁格方程式」，AI 開啟量子化學新未來
作者 雷鋒網 | 發布日期 2021 年 01 月 02 日 0:00 |
19 世紀末，量子力學的提出為解釋微觀物質世界打開了一扇大門，徹底改變了人類對物質結構及相互作用的理解。已有實驗證明，量子力學解釋了許多被預言、無法直接想像的現象。
由此，人們也形成了一種既定印象，所有難以理解的問題都可以透過求解量子力學方程式來解決。
但事實上能夠精確求解方程式的體系少之又少。
薛丁格方程式是量子力學的基本方程式，即便已經提出七十多年，它的氫原子求解還是很困難，超過兩個電子的氫原子便很難保證精確度。
不過，多年來科學家們一直在努力克服這一難題。
最近，來自柏林自由大學（Freie Universität Berlin） 的科學團隊取得了突破性進展，他們發表的一篇名為《利用深度神經網路解電子薛丁格方程式》的論文，登上《Nature Chemistry》子刊。
論文明確指出：利用人工智慧求解薛丁格方程式基態解，達到了前所未有的準確度和運算效率。該人工智慧即為深度神經網路（Deep-neural-network），他們將其命名為 PauliNet。
在介紹它之前，我們先來簡單了解薛丁格方程式。
什麼是薛丁格方程式？
薛丁格方程式（Schrödinger Equation），是量子力學中的一個基本方程式。又稱薛丁格波動方程式（Schrödinger Wave Equation），它的命名來自一位名為埃爾溫·薛丁格（Erwin Schrödinger）的奧地利物理學家。
Erwin 曾在 1933 年獲得諾貝爾物理學獎，是量子力學奠基人之一。他在 1926 年發表的量子波形開創性論文中，首次提出了薛丁格方程式。它是一個非相對論的波動方程式，反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律。
具體來說，將物質波的概念和波動方程式相結合建立二階偏微分方程式，以描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛丁格方程式，透過「解方程式」可得到波函數的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統的性質。
薛丁格方程式在量子力學的地位，類似牛頓運動定律在經典力學的地位，在物理、化學、材料科學等多領域都有廣泛應用價值。
比如，應用量子力學的基本原理和方法研究化學問題已形成「量子化學」基礎學科，研究範圍包括分子的結構、分子結構與性能之間的關係；分子與分子之間的相互碰撞、相互作用等。
也就是說，在量子化學，透過求解薛丁格方程式可以用來預測出分子的化學和物理性質。
波函數（Wave Function）是求解薛丁格方程式的關鍵，在每個空間位置和時間都定義一個物理系統，並描述系統隨時間的變化，如波粒二象性。同時還能說明這些波如何受外力或影響發生改變。
以下透過氫原子求解可得到正確的波函數。
不過，波函數是高維實體，使捕獲特定編碼電子相互影響的頻譜變得異常困難。
目前在量子化學領域，很多方法都證實無法解決這難題。如利用數學方法獲得特定分子的能量，會限制預測的精確度；使用大量簡單的數學構造塊表示波函數，無法使用少數原子進行計算等。
在此背景下，柏林自由大學科學團隊提出了一種有效的應對方案。團隊成員簡‧赫爾曼（Jan Hermann）稱，到目前為止，離群值（Outlier）是最經濟有效的密度泛函理論（Density functional theory ，一種研究多電子體系電子結構的方法）。相比之下，他們的方法可能更成功，因在可接受計算成本下提供前所未有的精確度。
PauliNet：物理屬性引入 AI 神經網路
Hermann 所說的方法稱為量子蒙地卡羅法。
論文顯示，量子蒙地卡羅（Quantum Monte Carlo）法提供可能的解決方案：對大分子來說，可縮放和並行化，且波函數的精確性只受 Ansatz 靈活性的限制。
具體來說，團隊設計一個深層神經網路表示電子波函數，這是一種全新方法。PauliNet 有當成基準內建的多參考 Hartree-Fock 解決方案，結合有效波函數的物理特性，並使用變分量子蒙地卡洛訓練。
弗蘭克‧諾（Frank Noé）教授解釋：「不同於簡單標準的數學公式求解波函數，我們設計的人工神經網路能夠學習電子如何圍繞原子核定位的複雜模式。」
電子波函數的獨特特徵是反對稱性。當兩個電子交換時，波函數必須改變符號。我們必須將這種特性構建到神經網路體系結構才能工作。
這類似包立不相容原理（Pauli’s Exclusion Principle），因此研究人員將該神經網路體系命名為「PauliNet」。
除了包立不相容原理，電子波函數還具有其他基本物理特性。PauliNet 成功之處不僅在於利用 AI 訓練數據，還在將這些物理屬性全部整合到深度神經網路。
對此，FrankNoé 還特意強調說：
「將基本物理學納入 AI 至關重要，因為它能夠做出有意義的預測，這是科學家可以為 AI 做出有實質性貢獻的地方，也是我們關注的重點。」
實驗結果：高精確度、高效率
PauliNet 對電子薛丁格方程式深入學習的核心方法是波函數 Ansatz，它結合了電子波函數斯萊特行列式（Slater Determinants），多行列式展開（Multi-Determinant Expansion），Jastro 因子（Jastrow Factor），回流變換（backflow transformation,），尖點條件（Cusp Conditions）以及能夠編碼異質分子系統中電子運動複雜特徵的深層神經網路。如下圖：
論文中，研究人員將 PauliNet 與 SD-VMC（singledeterminant variational，標準單行列式變分蒙地卡羅）、SD-DMC（singledeterminant diffusion，標準單行列式擴散蒙地卡羅）和 DeepWF 進行比較。
實驗結果顯示，在氫分子（H_2）、氫化鋰（LiH）、鈹（Be）以及硼（B）和線性氫鏈 H_10 五種基態能量的對比下，PauliNe 相較於 SD-VMC、SD-DMC 以及 DeepWF 均表現出更高的精準度。
同時論文中還表示，與專業的量子化學方法相比──處理環丁二烯過渡態能量，其準確性達到一致性的同時，也能夠保持較高的計算效率。
開啟「量子化學」新未來
需要說明的是，該項研究屬於一項基礎性研究。
也就是說，它在真正應用到工業場景之前，還有很多挑戰需要克服。不過研究人員也表示，它為長久以來困擾分子和材料科學的難題提供了一種新的可能性和解決思路。
此外，求解薛丁格方程式在量子化學領域的應用非常廣泛。從電腦視覺到材料科學，它將會帶來人類無法想像的科學進步。雖然這項革命性創新方法離落地應用還有很長的一段路要走，但它出現並活躍在科學世界已足以令人興奮。
如 Frank Noé 教授所說：「相信它可以極大地影響量子化學的未來。」
附圖：▲ Ψ 表示波函數。
資料來源：https://technews.tw/2021/01/02/schrodinger-equation-ai/?fbclid=IwAR340MNmOkOxUQERLf4u3SK0Um6VQVBpvEkV_DxyxIIcUv8IP88btuXNJ6U
反函數符號 在 Re: [反函數] 一反函數問題… - 看板trans_math 的必吃
※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言：
: 想問一個關於反函數的問題
: 我知道反函數的定義 也就是原本函數的定義域為另一函數的值域 原本函數的值域變為
: 新函數的定義域 則兩函數互為反函數
這樣描述還會包括進很多不是互相為反函數的組合
f : R -> R
f(x) = x+1
g : R -> R
g(x) = x+2
這樣定的話 f 的值域跟定義域都是 R, g 也是, 他們不互為反函數
重要的是反函數要把原本函數送過去的東西再送回來, 讓他們兩個合成後是 identity
: 請問…假如一函數f(x)=y=x-1
: 則f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x)
: 這兩個到底哪個才是f(x)的反函數 印象中會因習慣問題講自變數以x表示 然後f^-1(y)
: =x=y+1=g(y)改為f^-1(x)=y=x+1=g(x)然後才會跟f(x)對稱
: 但第一張圖突然又說g(y)是f(x)的反函數 那g(x)又是什麼…
1. 函數裡面的變數是 "dummy variable", 不論我們用什麼變數, 他們表示的都是
同一個函數. 令
f(x) = x^2
g(t) = t^2
h(u) = u^2
r(a) = a^2
不僅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一樣
函數就是把一個東西映射到另一個東西, 而 f(x) = x+1 這種記號的意思就是,
對於所有在定義域中的物件, v, 我們把它關聯到對應域中的物件 v+1
其中我們應該要知道在對應域中 "v+1" 要怎麼解讀
2. 文章中符號有混淆的地方
f(x) = x-1
f(t) = t-1
f(z) = z-1
這裡的 x, t, z 是 dummy variable, 用來代表這個函數要把什麼數字
送到什麼數字, 用什麼符號都一樣
"令變數 y = f(x), f(x) = x-1"
這句話想表達的是, 在以下環境中, 我們希望 y 是 x 的函數.
雖然我們只寫一個字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之類的算式
而當我們寫 g(y) = y+1, 這裡的 y 跟上面是毫無關聯的, 他只是在表示
g 這個函數是把一個數字 v 送到 v+1, 這個 y 是用來描述 g 這個函數的
dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y
3. 若 y = f(x) = x-1
則 f^{-1}(y) = y+1
到此為止, 沒有 f^{-1}(x) = y = x-1 這個等式
我們知道 f 會把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122
而 f 的反函數會把一個數 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256
f^{-1}(y) = y+1, 我們可以任意改變變數, 不影響 "把什麼數字送到什麼數字":
f^{-1}(w) = w+1
f^{-1}(t) = t+1
他們都是一樣的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才會代表同一個函數
假如我們認定了符號 y := x-1, 那麼顯然 f^{-1}(x) = x+1 不等於 y
: 第二張圖說f^-1(y)為反函數 讓我覺得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移項的結果嗎 然
: 後要把y換成x 也就是f^-1(x) 這個東西才是反函數吧…
:
:
符號上習慣讓 "f^{-1}(y)" 指稱 f(x) 的反函數罷了
函數重要的是輸入與輸出之間的關係, 中間用什麼方式來描述都不影響的
也有的介紹到集合論的書會用數對的集合來建構函數:
把 f : N -> N
f(x) = x+7
這個函數, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 來表示
這樣我們知道輸入是 2 時, 也能輸出要是 9
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要先注意, 把函數連結到平面也是我們自己訂的. 例如我們說假如對一個函數
f(t) = ..., 在 t = x 的時候值是 y (= f(x)), 那我們就把點 (x,y) 畫在平面上.
那這樣變換 dummy variable 對作圖有沒有影響? 並沒有, 因為還是同一個函數,
但是我們可以改變把它畫在平面上的畫法.
假如每個函數我們固定以輸入為 x 座標, 輸出為 y 座標, 那毫無疑問的一個函數
跟他的反函數的圖形會沿著 y = x 這條直線對稱, 這是因為反函數定義就是送過去
再送回來不會變:
兩個函數 f, g 互為反函數(加一些範圍適當什麼的條件), 那
g(f(u)) = u 對所有適當的 u
f(g(v)) = v 對所有適當的 v
這兩個函數畫成圖會怎麼樣呢? 假設 (x,y) 在 f 的圖形上, 也就是說
y = f(x), 那我們知道 x = g(y). 因此 (y,x) 在 g 的圖形上. 反過來說也
成立, 因此他們圖形沿 y = x 對稱.
但我們可以用不同的方法來畫圖. 對於以下的式子
y = f(x)
x = f^{-1}(y)
假如我們說: 讓我們畫圖時, 這式子裡的 x 就代表 x 座標, y 就代表 y 座標,
那當然也可以(向你舉的那個 x = f^{-1}(y) = y-1 的例子). 而這個時候他們
畫出來的圖形就是同一條了:
(x,y) 在 f 的圖形上 <=> y = f(x) <=> x = f^{-1}(y) <=> (x,y) 在 f^{-1}
描述的曲線上
那這個時候 dummy variable 可不可以變? 可不可以寫 z = f^{-1}(x), w = f^{-1}(t)?
變 dummy variable 的話函數本身當然不會變, 但我們前面說的 x 代表 x 座標 y
代表 y 座標這個連結就兜不起來了.
其實這種用法在微積分裡也滿常見的. 例如我們描述一條 x-y 平面上的直線 L
也可以描述說 L 就是滿足 x - y + 1 = 0 的點的集合, 要把它看成函數的時候
可以把 x 看成 y 的函數也可以把 y 看成 x 的函數. 不論哪種看法我們想描述
的是同一條線.
※ 編輯: suhorng (165.124.144.106), 12/18/2017 08:56:33
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